parseInt("123qwe")

returns 123

Number("123qwe")

returns NaN

In other words parseInt() parses up to the first non-digit and returns whatever it had parsed. Number() wants to convert the entire string into a number, which can also be a float BTW.

EDIT #1: Lucero commented about the radix that can be used along with parseInt(). As far as that is concerned, please see THE DOCTOR's answer below (I'm not going to copy that here, the doc shall have a fair share of the fame...).

EDIT #2: Regarding use cases: That's somewhat written between the lines already. Use Number() in cases where you indirectly want to check if the given string completely represents a numeric value, float or integer. parseInt()/parseFloat() aren't that strict as they just parse along and stop when the numeric value stops (radix!), which makes it useful when you need a numeric value at the front "in case there is one" (note that parseInt("hui") also returns NaN). And the biggest difference is the use of radix that Number() doesn't know of and parseInt() may indirectly guess from the given string (that can cause weird results sometimes).

parseInt() es una función de alto nivel que sirve para parsear una cadena e intentar obtener un valor numérico a partir de esta.

Por intentar me refiero lo sgte:

Una cadena que evidentemente es un número, es fácilmente obtenible como number. Ejemplo:

var s = "1234";
var n = parseInt(s);
console.log(n); // 1234

Por supuesto también acepta negativos

var s = "-1234";
var n = parseInt(s);
console.log(n); // -1234

Sin embargo una cadena que no represente a un número como la sgte

    var s = "5678EstoYaNoEsNumero";
    var n = parseInt(s);
    console.log(n); // 5678

Igualmente obtiene un valor válido, que corresponde al número resultante de convertir a number los dígitos hasta donde se pudo.

Este comportamiento resulta ideal por ejemplo en campos de texto cuando pueden haber espacios en blanco antes o después ejemplo:

    var s = "  4321  ";
    var n = parseInt(s);
    console.log(n); // 4321

Cuando el parseo ya no puede obtener ningún número, este se detiene así hayan más dígitos posteriormente por lo que en este caso el parseo devolverá NaN lo que significa que no pudo obtener un valor válido. Ejemplo:

        var s = "   abc8765  ";
        var n = parseInt(s);
        console.log(n); // NaN

Pero no solo permite parsear cadenas en base 10 por ejemplo lo sgte también es válido en base hexadecimal

var sHexa = "0xDEAD";
var nHexa = parseInt(sHexa);
console.log(nHexa); // 57005

Finalmente si se desea parsear una cadena en otra base se puede indicar con el segundo argumento de la función, por ejemplo para parsear una cadena binaria:

var sBin = "10101010";
var nBin = parseInt(sBin, 2);
console.log(nBin); // 170